| Главная » Файлы » Мои файлы |
Метод Ейлера
| [ Скачать с сервера (239.5 Kb) ] | 10.02.2018, 22:33 |
| Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду (1) Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку. Точність його не велика. - настільки мале, що значення функції мало відрізняється від лінійної функції - тангенс кута нахилу дотичної в x h Тобто крива заміняється дотичними. Рух відбувається не по інтегральній кривій, а по відрізках дотичної . Метод Ейлера базується на розкладі функції в ряд Тейлора в околі точки (2) Якщо мале, то, члени розкладу, що містять в собі і т.д. є малими високих порядків і ними можна знехтувати. Тоді (3) Похідну знаходимо з рівняння (1), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення. , роблячи як завгодно багато кроків. Похибка методу має порядок , оскільки відкинуті члени, що містять в другій і вище степенях. Недолік методу Ейлера - нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку з метою забезпечення заданої точності. В методі Ейлера на всьому інтервалі тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним . Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках та різні. Точність методу можна суттєво підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної. Це можна зробити, якщо, наприклад, використати середнє значення похідної на початку та в кінці інтервалу. В т.з. модифікованому методі Ейлера (метод Ейлера з перерахунком) спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера. (4) Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу . | |
| Просмотров: 504 | Загрузок: 14 | Рейтинг: 0.0/0 | |
| Всего комментариев: 0 | |