| Главная » Файлы » Доклады » Доклады |
Біфуркації в природі
| [ Скачать с сервера (95.4 Kb) ] | 20.06.2017, 14:27 |
| Зміст Вступ Основна частина Поняття біфуркації. Задачі теорії біфуркації Біфуркації в природі Біфуркації в математиці. Точка біфуркації Біфуркації в суспільстві «М’які» і «жорсткі» біфуркації. Катастрофи Висновки Література Вступ Наші уявлення про стійкість того чи іншого режиму функціонування динамічної системи інтуїтивно формуються в процесі пізнання природи і життя. Розглядаючи картину П. Пікассо «Дівчинка на кулі», ми наче на собі відчуваємо, що стан рівноваги дівчинки не стійкий. З віком ми вже можемо міркувати про стійкість кораблю в бурхливому морі, про стійкість економіки стосовно дії управлінців, про стійкість нашої нервової системи до стресових збуджень. В кожному конкретному випадку мова йде про різні властивості, які є специфічними для кожної системи. Однак якщо уважніше поміркувати, то можна знайти дещо спільне, що характерне для будь-якої системи. Це спільне полягає в тому, що коли ми говоримо про стійкість, то розуміємо характер реакції динамічної системи на мале збурення її стану. Якщо скільки завгодно малі зміни стану системи починають зростати в часі, система нестійка. В протилежному випадку, якщо малі збурення затухають з часом, система стійка. Спостерігаючи за еволюцією живої і неживої природи, ми можемо помітити одну цікаву властивість: розвиток тої чи іншої складної системи завжди супроводжується втратою стійкості деякими режимами її функціонування і зародженням нових, стійких. Одні структури гинуть, інші зароджуються, деякі видозмінюються, вдосконалюються і потім знову поступаються місцем новим. Зміни можуть накопичуватися поступово, а можуть відбуватися стрибком у вигляді катастроф. Формування нових структур завжди супроводжується втратою стійкості (навіть руйнуванням) попередніх. І тут захована важлива проблема – проблема переходу системи з одного режиму функціонування в інший, що кардинально відрізняється. Навідміну від рівноважних систем, які переходять в стан з мінімальною вільною енергією, нерівноважні системи можуть розвиватися непередбачувано: їх стан не завжди однозначно визначається макроскопічним рівнянням. Попередній режим втратив стійкість. Але що при цьому відбувається? Система обирає новий стійкий режим, який може мати деякі властивості попереднього, а може суттєво відрізнятися. В таких випадках говорять про біфуркації динамічних систем. Основи математичної теорії біфуркації були створені А. Пуанкаре і А. М. Ляпуновим на початку ХХ століття, а потім розвинені деякими школами. Теорія біфуркацій знаходить своє застосування в різних науках, починаючи з фізики та хімії, закінчуючи біологією і соціологією. Поняття біфуркації. Задачі теорії біфуркацій Дослідження якісних математичних моделей супроводжується виникненням якісних питань, які можна розділити на дві групи: Питання, що стосуються поведінки системи при фіксованих значеннях параметрів; важливим при цьому є якісне розуміння характеру режимів, що встановлюються в системі; Питання, що стосуються подій, які відбуваються в системі при зміні значень параметрів. Повільна зміна параметру може призвести до того, що при перетині деякого критичного значення режим, який встановився у системі, набуває якісних змін. За таких перебудов фазовий портрет системи, що вивчається, змінюється. Якісні перебудови фазового портрету і називаються біфуркаціями. Так питання другого типу передбачає визначення біфуркаційних значень параметрів і опис явищ, що відбуваються при переході через критичне значення. Отже, біфуркація — зміна якісної поведінки динамічної системи за малої зміни її параметрів. Термін походить від лат. bifurcus - «роздвоєння» і вживається в широкому значенні для позначення всіляких якісних перебудов чи метаморфоз різноманітних об’єктів при зміні параметрів, від яких вони залежать. Значення параметрів, за яких відбувається перебудова встановлених режимів руху в системі, називаються біфуркаційними значеннями параметра (або точкою біфуркації), а сама перебудова – біфуркацією. Теорія біфуркацій динамічних систем — це теорія, яка вивчає зміни якісної картини розбиття фазового простору в залежності від зміни одного чи кількох параметрів. Задачами теорії біфуркації є: Опис всіх можливих біфуркацій системи, що досліджується; Розбиття множини біфуркаційних значень параметрів на області з різними типами грубих фазових портретів; Побудова для кожної області відповідного фазового портрету. Біфуркації в природі Якщо уважно придивитись до природи, що нас оточує, можна зробити наступне цікаве спостереження. Життя на планеті Земля можливе лише завдяки тепловому випромінюванню Сонця, яке слугує джерелом енергії. Влітку північна півкуля отримує світлової енергії більше, ніж взимку. І картина літньої природи при цьому помітно відрізняється від зимової. В якості прикладу можна розглянути об’єм води в озері. Кількісною мірою сонячної енергії, що потрапляє на Землю, є температура води. Влітку вода в озері тепла і можна купатись. З приходом осені температура води поступово зменшується. Купатись вже не хочеться, але вода залишається водою і при більш низькій, але плюсовій температурі. Взимку верхній шар води в озері застигає до нульової температури і перетворюється на лід. Далі при -20 0С лід залишається льодом. Отже при проходженні через нуль вода різко змінила свої властивості: з рідкого стану перейшла в твердий. Під впливом ресурсів, що поступають в систему (речовина, енергія, інформація), і зовнішніх умов в ній повільно накопичуються кількісні зміни, ситуація поступово загострюється: між її окремими елементами рвуться старі зв’язки і виникають нові, руйнуються деякі старі елементи і зароджують нові. В точках біфуркації перед самоорганізуючою системою відкривається множина варіантів шляхів розвитку. Одночасно виникає велика кількість дисипативних мікроструктур – праобразів майбутніх станів системи – фракталів. В точці біфуркації відбувається конкуренція фракталів, здійснюється їх відбір, йде боротьба за виживання в нових умовах. В результаті конкуренції відбувається самодовільний вибір тієї структури, яка найбільш адаптована до зовнішніх і внутрішніх умов, що склались на даний момент. Більшість фракталів нежиттєздатні, оскільки виявляються невигідними з точки зору фундаментальних законів природи (закони збереження маси-енергії, ентропії-інформації, принцип мінімізації енергії і ін.). Вони або руйнуються повністю, або залишаються як окремі рудименти, архаїчні залишки минулого, з якими ми нерідко зустрічаємось не лише в світі природи, а й в житті суспільства, мові і культурі народів. Біфуркації в математиці. Точка біфуркації Розглянемо інший приклад. Нехай маємо динамічну систему, що задана рівнянням: x’ = f(x) = r + x2. Прирівняємо праву частину до нуля і проаналізуємо, які значення може приймати параметр, тобто як він впливає на поведінку системи. Маємо рівняння: x2 = -r (*). При r<0 рівняння (*) має додатну праву частину. Отже, маємо два розв’язки: x1 = -√-r, x2 = + √-r. Графічно даний випадок виглядає так: Рис. 1. Поведінка системи у випадку r<0 Перша точка (зліва) стійка, оскільки з рис. 1 видно, що функція змінює свій знак з «+» на «-». Друга точка – нестійка, оскільки з рис. 1 видно, що функція змінює свій знак з «-» на «+». При r = 0 рівняння (*) має один корінь. В цій точці, відповідно, ми не можемо аналітично визначити тип стійкості. Фазовий графік представлений на рис. 2. Рис. 2. Поведінка системи у випадку r = 0 Аналізуючи графік на рис. 2, можна встановити, що функція f(x) при переході через особливу точку не змінює знак, відповідно ця точка є нестійкою. При r > 0 точок рівноваги немає: Рис. 3. Поведінка системи у випадку r > 0 Зміст Вступ Основна частина Поняття біфуркації. Задачі теорії біфуркації Біфуркації в природі Біфуркації в математиці. Точка біфуркації Біфуркації в суспільстві «М’які» і «жорсткі» біфуркації. Катастрофи Висновки Література Вступ Наші уявлення про стійкість того чи іншого режиму функціонування динамічної системи інтуїтивно формуються в процесі пізнання природи і життя. Розглядаючи картину П. Пікассо «Дівчинка на кулі», ми наче на собі відчуваємо, що стан рівноваги дівчинки не стійкий. З віком ми вже можемо міркувати про стійкість кораблю в бурхливому морі, про стійкість економіки стосовно дії управлінців, про стійкість нашої нервової системи до стресових збуджень. В кожному конкретному випадку мова йде про різні властивості, які є специфічними для кожної системи. Однак якщо уважніше поміркувати, то можна знайти дещо спільне, що характерне для будь-якої системи. Це спільне полягає в тому, що коли ми говоримо про стійкість, то розуміємо характер реакції динамічної системи на мале збурення її стану. Якщо скільки завгодно малі зміни стану системи починають зростати в часі, система нестійка. В протилежному випадку, якщо малі збурення затухають з часом, система стійка. Спостерігаючи за еволюцією живої і неживої природи, ми можемо помітити одну цікаву властивість: розвиток тої чи іншої складної системи завжди супроводжується втратою стійкості деякими режимами її функціонування і зародженням нових, стійких. Одні структури гинуть, інші зароджуються, деякі видозмінюються, вдосконалюються і потім знову поступаються місцем новим. Зміни можуть накопичуватися поступово, а можуть відбуватися стрибком у вигляді катастроф. Формування нових структур завжди супроводжується втратою стійкості (навіть руйнуванням) попередніх. І тут захована важлива проблема – проблема переходу системи з одного режиму функціонування в інший, що кардинально відрізняється. Навідміну від рівноважних систем, які переходять в стан з мінімальною вільною енергією, нерівноважні системи можуть розвиватися непередбачувано: їх стан не завжди однозначно визначається макроскопічним рівнянням. Попередній режим втратив стійкість. Але що при цьому відбувається? Система обирає новий стійкий режим, який може мати деякі властивості попереднього, а може суттєво відрізнятися. В таких випадках говорять про біфуркації динамічних систем. Основи математичної теорії біфуркації були створені А. Пуанкаре і А. М. Ляпуновим на початку ХХ століття, а потім розвинені деякими школами. Теорія біфуркацій знаходить своє застосування в різних науках, починаючи з фізики та хімії, закінчуючи біологією і соціологією. Поняття біфуркації. Задачі теорії біфуркацій Дослідження якісних математичних моделей супроводжується виникненням якісних питань, які можна розділити на дві групи: Питання, що стосуються поведінки системи при фіксованих значеннях параметрів; важливим при цьому є якісне розуміння характеру режимів, що встановлюються в системі; Питання, що стосуються подій, які відбуваються в системі при зміні значень параметрів. Повільна зміна параметру може призвести до того, що при перетині деякого критичного значення режим, який встановився у системі, набуває якісних змін. За таких перебудов фазовий портрет системи, що вивчається, змінюється. Якісні перебудови фазового портрету і називаються біфуркаціями. Так питання другого типу передбачає визначення біфуркаційних значень параметрів і опис явищ, що відбуваються при переході через критичне значення. Отже, біфуркація — зміна якісної поведінки динамічної системи за малої зміни її параметрів. Термін походить від лат. bifurcus - «роздвоєння» і вживається в широкому значенні для позначення всіляких якісних перебудов чи метаморфоз різноманітних об’єктів при зміні параметрів, від яких вони залежать. Значення параметрів, за яких відбувається перебудова встановлених режимів руху в системі, називаються біфуркаційними значеннями параметра (або точкою біфуркації), а сама перебудова – біфуркацією. Теорія біфуркацій динамічних систем — це теорія, яка вивчає зміни якісної картини розбиття фазового простору в залежності від зміни одного чи кількох параметрів. Задачами теорії біфуркації є: Опис всіх можливих біфуркацій системи, що досліджується; Розбиття множини біфуркаційних значень параметрів на області з різними типами грубих фазових портретів; Побудова для кожної області відповідного фазового портрету. Біфуркації в природі Якщо уважно придивитись до природи, що нас оточує, можна зробити наступне цікаве спостереження. Життя на планеті Земля можливе лише завдяки тепловому випромінюванню Сонця, яке слугує джерелом енергії. Влітку північна півкуля отримує світлової енергії більше, ніж взимку. І картина літньої природи при цьому помітно відрізняється від зимової. В якості прикладу можна розглянути об’єм води в озері. Кількісною мірою сонячної енергії, що потрапляє на Землю, є температура води. Влітку вода в озері тепла і можна купатись. З приходом осені температура води поступово зменшується. Купатись вже не хочеться, але вода залишається водою і при більш низькій, але плюсовій температурі. Взимку верхній шар води в озері застигає до нульової температури і перетворюється на лід. Далі при -20 0С лід залишається льодом. Отже при проходженні через нуль вода різко змінила свої властивості: з рідкого стану перейшла в твердий. Під впливом ресурсів, що поступають в систему (речовина, енергія, інформація), і зовнішніх умов в ній повільно накопичуються кількісні зміни, ситуація поступово загострюється: між її окремими елементами рвуться старі зв’язки і виникають нові, руйнуються деякі старі елементи і зароджують нові. В точках біфуркації перед самоорганізуючою системою відкривається множина варіантів шляхів розвитку. Одночасно виникає велика кількість дисипативних мікроструктур – праобразів майбутніх станів системи – фракталів. В точці біфуркації відбувається конкуренція фракталів, здійснюється їх відбір, йде боротьба за виживання в нових умовах. В результаті конкуренції відбувається самодовільний вибір тієї структури, яка найбільш адаптована до зовнішніх і внутрішніх умов, що склались на даний момент. Більшість фракталів нежиттєздатні, оскільки виявляються невигідними з точки зору фундаментальних законів природи (закони збереження маси-енергії, ентропії-інформації, принцип мінімізації енергії і ін.). Вони або руйнуються повністю, або залишаються як окремі рудименти, архаїчні залишки минулого, з якими ми нерідко зустрічаємось не лише в світі природи, а й в житті суспільства, мові і культурі народів. Біфуркації в математиці. Точка біфуркації Розглянемо інший приклад. Нехай маємо динамічну систему, що задана рівнянням: x’ = f(x) = r + x2. Прирівняємо праву частину до нуля і проаналізуємо, які значення може приймати параметр, тобто як він впливає на поведінку системи. Маємо рівняння: x2 = -r (*). При r<0 рівняння (*) має додатну праву частину. Отже, маємо два розв’язки: x1 = -√-r, x2 = + √-r. Графічно даний випадок виглядає так: Рис. 1. Поведінка системи у випадку r<0 Перша точка (зліва) стійка, оскільки з рис. 1 видно, що функція змінює свій знак з «+» на «-». Друга точка – нестійка, оскільки з рис. 1 видно, що функція змінює свій знак з «-» на «+». При r = 0 рівняння (*) має один корінь. В цій точці, відповідно, ми не можемо аналітично визначити тип стійкості. Фазовий графік представлений на рис. 2. Рис. 2. Поведінка системи у випадку r = 0 Аналізуючи графік на рис. 2, можна встановити, що функція f(x) при переході через особливу точку не змінює знак, відповідно ця точка є нестійкою. При r > 0 точок рівноваги немає: Рис. 3. Поведінка системи у випадку r > 0 Отже, напівстійка точка рівноваги зникає, як тільки стає додатною. Оскільки характеристики точок рівноваги змінюються з часом, говорять, що динамічна система має біфуркацію. В даному випадку значення параметра змінюються від від’ємних через нуль до додатних і характеристики стаціонарних точок змінюються так, як показано на рис. 1-3. Отже, в точці відбувається біфуркація. Розглянемо рівняння dα/dt=-α^3+"λα" , де λ – деякий параметр. Розглянемо стаціонарні розв’язки цього рівняння як функції параметра λ. Дане рівняння володіє простою подвійною симетрією: воно залишається інваріантним при заміні α на –α. Це означає, що якщо α(t) є розв’язком, то -α(t) також розв’язок. Якщо α(t) ≠ -α(t), то рівняння має два розв’язки. Таким чином, симетрія і множина розв’язків пов’язані між собою. Для стаціонарних умов розв’язку цього диференційного рівняння можна записати α = 0 α = Отже, напівстійка точка рівноваги зникає, як тільки стає додатною. Оскільки характеристики точок рівноваги змінюються з часом, говорять, що динамічна система має біфуркацію. В даному випадку значення параметра змінюються від від’ємних через нуль до додатних і характеристики стаціонарних точок змінюються так, як показано на рис. 1-3. Отже, в точці відбувається біфуркація. Розглянемо рівняння dα/dt=-α^3+"λα" , де λ – деякий параметр. Розглянемо стаціонарні розв’язки цього рівняння як функції параметра λ. Дане рівняння володіє простою подвійною симетрією: воно залишається інваріантним при заміні α на –α. Це означає, що якщо α(t) є розв’язком, то -α(t) також розв’язок. Якщо α(t) ≠ -α(t), то рівняння має два розв’язки. Таким чином, симетрія і множина розв’язків пов’язані між собою. Для стаціонарних умов розв’язку цього диференційного рівняння можна записати α = 0 α = | |
| Просмотров: 601 | Загрузок: 6 | Рейтинг: 0.0/0 | |
| Всего комментариев: 0 | |